8.1 相关性分析 - 大数据金融(Big Data in Finance)

相关性分析是一种统计方法，用于评估两个或多个变量之间的关系或相关性。它可以帮助我们了解变量之间的相关程度，即一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。

1. 两个变量之间的相关系数¶

我们先考虑下两个连续变量之间的统计关系。

Pearson相关系数是用于衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计指标。它通常用于评估两个变量之间的线性关系，即当一个变量增加时，另一个变量是否也随之增加或减少。Pearson相关系数的取值范围在-1到1之间，其具体计算公式如下：

r = \frac{{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(Y_i - \bar{Y})^2}}}

(1)

其中：

$r$ 表示Pearson相关系数；
$X_i$ 和 $Y_i$ 分别表示第 $i$ 个样本的两个变量的取值；
$\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别表示两个变量的样本均值；
$ n ) 表示样本数量。

Pearson相关系数的解释如下：

当 $r = 1$ 时，表示两个变量完全正相关，即随着一个变量的增加，另一个变量也呈现增加的趋势。
当 $r = -1$ 时，表示两个变量完全负相关，即随着一个变量的增加，另一个变量呈现减少的趋势。
当 $r = 0$ 时，表示两个变量之间不存在线性关系。

需要注意的是，Pearson相关系数只能衡量线性相关性，对于非线性关系或者异常值敏感的情况，可能不适合使用Pearson相关系数。在这种情况下，可以考虑使用Spearman相关系数或者Kendall Tau相关系数等非参数方法。

2. 相关性系数的实现¶

2.1 numpy库计算Pearson相关系数¶

import numpy as np

# 定义两个变量的样本数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 4, 5, 6])

# 计算Pearson相关系数
r = np.corrcoef(x, y)[0, 1]

print("Pearson相关系数：", r)

Pearson相关系数： 0.9999999999999999

2.2 scipy库计算Pearson相关系数¶

调用scipy.stats.pearsonr计算相关系数：

import scipy.stats as stats
r = stats.pearsonr(x, y)
r.correlation

1.0

2.3 Pandas库计算Pearson相关系数¶

也可以使用pd.DataFrame.corr()来计算相关系数矩阵:

import pandas as pd
df = pd.DataFrame()
df['x'] = x
df['y'] = y
df.corr(method='pearson')   # 计算相关系数矩阵